数学不是公式，是故事

两千年前成书的《九章算术》，第一章"方田"就写好了完整的分数加、减、乘、除法则，叫合分、减分、乘分、经分，和今天我们用的算法基本一样。中国人认识分数，很早就成了系统。

公元三世纪，魏晋数学家刘徽注解《九章算术》时说：开方开不尽，可以用个位以下更小的十进分数继续逼近。他把没有名字的部分叫"微数"——这就是小数思想在中国的开端。

《九章算术》"方程"章里，古人已经用正负数算账，还写下正负数加减法则"正负术"。刘徽规定：红算筹表正数，黑算筹表负数。这是世界上较早的负数记录之一。

"方程"这个词，两千年前就出现在《九章算术》里。书中专有一章"方程"，用算筹摆出多个数量关系，解一组未知数，方法类似今天的消元法，是世界上较早的线性方程组解法。

大约一千五百年前的南北朝时期，《孙子算经》记下一道名题："今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。"问鸡兔各几只。这就是今天"鸡兔同笼"问题的源头，后来还传到了日本。

刘徽首创"割圆术"：把圆切成正多边形，边数越多越接近圆，一步步逼近圆周率。后来南北朝的祖冲之沿这条路继续算，把圆周率定在3.1415926和3.1415927之间。

两千多年前的《周髀算经》记载着商高答周公：直角三角形两条直角边是3和4，斜边就是5。"勾三股四弦五"是勾股定理的早期记录；三国时赵爽还画了"弦图"来证明它。

《九章算术》第一章"方田"，来自丈量田亩的需要：长方形、三角形、梯形的田地怎么算面积，书里都给了算法。数学，就是从量地、收粮这些生活问题里慢慢长大的。

《九章算术》第五章"商功"，专门讲修城墙、挖沟渠、建仓库的土方体积。书里还把立方体斜切成"堑堵""阳马"，分别给出体积算法，和今天的体积公式能对上。

刘徽把测量远方的方法编成《海岛算经》：在岸边立两根表杆，量出两次观测数据的差，就能算出远处海岛的高和远。这种方法叫"重差术"，人不登船也能测量。

《九章算术》第二章"粟米"讲粮食互换：粟换米、米换饭按什么比例换？书中的方法叫"今有术"——知道一个数和两个率，就能求出另一个数，和今天的比例算法是一回事。这一条讲的是今有术的原理本身；具体的乘除应用题见 mzA052，先求一份的归一问题见 mzA056。

分数怎么约分？《九章算术》"方田"章教了"更相减损术"：分子分母摆开，大数减小数，减到两边相等，这个数就是最大公因数，拿它去约分。它和后来的辗转相除法是同一个思路。

古人分猎物、分粮食，最讲究一个公平：每人分得一样多。汉字"分"从八从刀，像用刀把一块东西均匀切开。今天说的平均分，就是从这种朴素的公平里来的。

古代中国人说分数，不写二分之一，就说一个字：半。再看《九章算术》，一整块分作三份，一份叫少半，两份叫太半。这些词在《管子》《史记》里都在用。

湖北江陵张家山出土的汉代竹简《算数书》，成书年代早于《九章算术》，已经用半、少半、太半表示二分之一、三分之一、三分之二。分数，是古人在分物和测量里一点点攒出来的。

古人用算筹记数，从左往右、从小排到大，已经有了数的顺序观念。《孙子算经》说"凡算之法，先识其位"——个位、十位、百位各有固定摆位，这就是数线位置感的雏形。今天小朋友在数线上从0读到1、从1读到2，就是这种排队思想的延伸。

五六千年前的仰韶文化，先民在彩陶盆上画满圆点、三角和弧线。故宫藏彩陶几何纹盆上，两层三角形大小相同、方向相反。形状的美感，从陶器上就开始了。

《九章算术》商功章算土方，把正方的立体叫立方，斜切之后还分出堑堵、阳马。古人修城墙、建仓库，天天跟长方体、正方体打交道。

古人量田地、量树干，最早的办法就是拿一根绳子绕一圈，再把绳子拉直量长度。《九章算术》方田章有"环田"题，算的就是一周的总长；古人叫"周"，今天叫"周长"。这个绕一圈的总长，就是周长。今天量长方形花坛一圈有多远，道理一模一样。

三千多年前，周公在登封立起八尺高的表，看正午影子落在圭上的长短。太阳越高，杆和影子夹的角越陡。古人就这样靠观察角来测季节。

刘徽是魏晋时期的数学家（约公元三世纪）。他为《九章算术》作注，把古人的算法讲出道理；首创"割圆术"，用无限逼近的思想算圆周率；还写出测量名著《海岛算经》。

祖冲之是南北朝时期的数学家（公元429—500年）。他把圆周率算到3.1415926与3.1415927之间，还给出约率22/7、密率355/113两个分数近似值，这项成果在世界上领先了近千年。

秦九韶是南宋数学家，著有《数书九章》。书中"大衍求一术"系统解决了一次同余问题，也就是后来被称为"中国剩余定理"的方法；"正负开方术"则是一套高次方程数值解法。

杨辉是南宋钱塘（今杭州）人，《详解九章算法》是他的重要著作。书里收录了一幅"开方作法本源图"，把二项式系数排成三角形——人们叫它"杨辉三角"，比帕斯卡三角早约六百年。

约公元前300年，欧几里得在亚历山大里亚城教书。当时几何知识零散，他从五条最简单的公设出发，一步步推导出465个命题，编成十三卷《几何原本》。后来两千多年的几何课本，基本都照着这本书的样子写。

杨辉三角里藏着整齐的规律：每行左右两端都是1；中间每个数，正好等于它肩上两个数的和。第1行是1，以后每行数字之和都是上一行的2倍——第6行的数加起来正好是32，你可以自己写一行验证。

直角三角形三边3、4、5，有3²+4²=5²，这样的整数组叫"勾股数"。它们还有"好朋友"：5、12、13满足5²+12²=13²；6、8、10就是3、4、5的两倍。这样的整数组还能一直找下去。

圆周率是一个无限不循环小数：3.141592653589793……后面的数字永远写不完，也不循环。祖冲之当年靠算筹把它算到小数点后第六位；今天用超级计算机，已经算到了几十万亿位。

一个图形沿一条直线对折，两边能完全重合，它就是轴对称图形。正方形有4条这样的直线；圆更特别——沿任何一条直径对折都重合，所以圆有无数条对称轴。

蜜蜂巢房的截面都是正六边形。数学家算过：用同样多的蜂蜡铺满一片平面，正六边形拼起来缝隙最少、围出面积最大。蜜蜂不会做几何题，可它们造的房子，正好用上了最省材料的形状。